Οι ανθρώπινες ανάγκες σε όλους τους πολιτισμούς δημιούργησαν τα μαθηματικά. Μία εφαρμογή των μαθηματικών είναι τα διασκεδαστικά μαθηματικά, δηλαδή η διασκεδαστική και ψυχαγωγική όψη των μαθηματικών που μπορούν να γεμίσουν ευχάριστα τον ελεύθερο χρόνο μας. Σε αυτά υπάγονται και τα μαγικά τετράγωνα.
Τα μαγικά τετράγωνα.
Τα μαγικά τετράγωνα έχουν μια πλούσια ιστορία που ξεκινάει γύρω στο 2200 π.Χ. με κάποιους κινέζικους μύθους. Το 2200 π.Χ. λέγεται πως ο αυτοκράτορας Yu επινόησε το μαγικό τετραγωνο. Το μαγικό τετράγωνο ήταν μια διαταξη από 3 οριζόντια και 3 κάθετα κουτάκια μέσα στα οποία βρισκόταν ένας αριθμός. Τα κουτάκια αυτά ονομάζονται κελιά. Οι αριθμοί μέσα στα κελιά, όταν αθροίζονταν είτε κάθετα είτε οριζόντια είτε διαγώνια έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα. Σύμφωνα με το μύθο, ο αυτοκράτορας Yu παρατήρησε μια χελώνα με ένα ξεχωριστό διάγραμμα στο καβούκι της κι έτσι επινοησε το μαγικο τετράγωνο. Ο αυτοκράτορας αποφάσισε να ονομάσει το ασυνήθιστο αυτό αριθμητικό μοτίβο lo shu που μπορεί να ερμηνευτεί σαν μαγικό τετράγωνο.
Στο Ιερό βιβλίο I-Ching υπάρχει η εικόνα του lo shu. Όμως, το πρώτο μαγικό τετράγωνο που έχει καταγραφεί εμφανίστηκε στο βιβλίο του πρώτου αιώνα Da – Dai Liji.
Όπως και σε άλλους πολιτισμούς, έτσι και στην Ευρώπη τα μαγικά τετράγωνα ήταν άμεσα συνδεδεμένα με τη μαγεία την αλχημεία και την αστρολογία. Κατά τηδιάρκεια του 15ου αιώνα ο βυζαντινός συγγραφέας Manuel Moschopoulos , εισήγαγε τα μαγικά τετράγωνα στην Ευρώπη. Οι πρώτες αποδείξεις εμφάνισης των μαγικών τετραγώνων σε έντυπα κείμενα στην Ευρώπη φαίνονται σε μια διάσημη γκραβούρα του γερμανού καλλιτέχνη Albrecht Durer που το 1514 ενσωμάτωσε ένα μαγικό τετράγωνο στην γκραβούρα του Melencolia I, στην πάνω δεξιά γωνία.
Στην παρακάτω εικόνα παρουσιάζεται ένα μαγικό τετράγωνο με τρείς σειρές και 3 στήλες.
Στο τετράγωνο αυτό, το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη, σειρά και διαγώνιο είναι ίδιο και ισούται με 15. Προσέξετε ότι στο μαγικό τετράγωνο οι αριθμοί δεν επαναλαμβάνονται, δεν είναι ίδιοι. Είναι διαφορετικοί.
Ένα διάσημο μαγικό τετράγωνο κοσμεί την είσοδο του καθεδρικού ναού Sagrada Familia στην Βαρκελώνη, σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα Antoni Gaudi (1852–1926). Το άθροισμα κάθε στήλης, κάθε σειράς και κάθε διαγωνίου είναι το 33, η ηλικία του Χριστού όταν
σταυρώθηκε.
Τα μαγικά τετράγωνα και τα σταυρόλεξα απεικονίζονται σε δύο διαστάσεις.
Το πρώτο σταυρόλεξο δημοσιεύτηκε στις 21 Δεκεμβρίου του 1913 στην εφημερίδα Κόσμος της Νέας Υόρκης από τον δημοσιογράφο Άρθουρ Γουάιν, που είχε την επιμέλεια της σελίδας ψυχαγωγίας. Δημιούργησε ένα σταυρόλεξο σε σχήμα ρόμβου.
Την επόμενη μέρα της κυκλοφορίας, η εφημερίδα κατακλύστηκε από εκατοντάδες γράμματα αναγνωστών, που ζητούσαν επιτακτικά και νέα σταυρόλεξα. Άρχισε τότε η σταυρολεξομανία! Το 1924 η τρέλα των σταυρολέξων φθάνει στην Ευρώπη, με τη δημοσίευση του πρώτου σταυρολέξου από την αγγλική εφημερίδα Sunday Express και την δεκαετία του ’30 διαδόθηκε σε όλα τα μήκη και πλάτη της Γης καθώς και στη χώρα μας.
Στον B’ Παγκόσμιο Πόλεμο πολλοί άγγλοι λύτες σταυρολέξων χρησιμοποιήθηκαν από τις συμμαχικές υπηρεσίες αντικατασκοπίας για να σπάνε τους κώδικες των ναζί. Στις μέρες μας, το σταυρόλεξο αποτελεί μία σταθερή αξία. Το βρίσκουμε παντού, από τις εφημερίδες και τα εξειδικευμένα περιοδικά, ως το διαδίκτυο. Οι γιατροί πιστεύουν ότι κάνει καλό στην υγεία, καθώς ακονίζει το μυαλό και συμβάλλει στην αποφυγή δυσάρεστων καταστάσεων τύπου Αλτσχάιμερ.
Τα Λατινικά Τετράγωνα (Latin squares).
Ένα Λατινικό Τετράγωνο (Latin square), γνωστό στα αραβικά ως wafq majazi, είναι ένα τετράγωνο που περιέχει κελιά στα οποία κάθε σειρά και κάθε στήλη έχουν το ίδιο σύνολο αριθμών. Αντίθετα σε ένα μαγικό τετράγωνο, δεν υπάρχουν ίδιοι αριθμοί, οι αριθμοί δεν επαναλαμβάνονται.
Ο Ελβετός μαθηματικός Leonard Euler, το 1783 σε ηλικία 76 ετών δημιούργησε μία μορφή του σημερινού Sudoku από τα Λατινικά Τετράγωνα που τα ονόμασε «μαγικά τετράγωνα» (carres magiques). Ο Euler στα «μαγικά του τετράγωνα» έβαλε ένα περιορισμό στους αριθμούς κάθε σειράς και κάθε στήλης. Ο περιορισμός ήταν ότι σε μια σειρά ή σε μια στήλη, ένας αριθμός να μην εμφανίζεται δύο φορές. Δεν πρόλαβε όμως να χαρεί το παιχνίδι του, καθώς απεβίωσε την ίδια χρονιά. Τα μαγικά τετράγωνα του Euler παρέμειναν στην αφάνεια για περίπου δυο αιώνες.
Οι διαστάσεις στη φύση αλλά και μεταφορικά.
Στη φύση οι διαστάσεις μας βοηθούν να έχουμε μία αντίληψη του χώρου. Έτσι, αν έχουμε ένα σημείο που δεν έχει διαστάσεις και προσθέσουμε μία διάσταση, θα έχουμε μία γραμμή που έχει μία διάσταση. Αν προσθέσουμε άλλη μία διάσταση, θα έχουμε ένα επίπεδο που έχει δύο διαστάσεις. Αν προσθέσουμε άλλη μία διάσταση, τότε θα έχουμε το χώρο των τριών διαστάσεων. Η Θεωρία της σχετικότητας στην φυσική, πρόσθεσε και μία τέταρτη διάσταση στο χώρο που ονομάστηκε “χώρος τεσσάρων διαστάσεων” και η νέα αυτή διάσταση είναι ο χρόνος.
Μεταφορικά τώρα, όταν λέμε ότι προσθέτουμε μία νέα διάσταση σε κάποιο θέμα, εννοούμε ότι αλλάζουμε τα δεδομένα, ότι δημιουργούμε ένα νέο κόσμο για εξερεύνηση στο θέμα αυτό.
Μία νέα διάσταση στα «μαγικά τετράγωνα» του Euler δημιουργεί το SUDOKU όπως το γνωρίζουμε σήμερα.
Σύμφωνα με μια έρευνα που έγινε από τον Will Shortz και αναφέρθηκε από τον Δρ Jean-Paul Delahaye στην επιστημονική του αμερικανική έκδοση του Ιουνίου 2006 «The Science of Sudoku», το πρώτο μοντέρνο παζλ Sudoku δημιουργήθηκε από έναν Αμερικανό αρχιτέκτονα, τον Howard Garns. Ο Garns χρησιμοποίησε την ιδέα των Λατινικών τετραγώνων με τον περιορισμό του Euler, αλλά πρόσθεσε και μία νέα διάσταση!
Ίσως να χρειαζόταν ένας αρχιτέκτονας να συλλάβει την ιδέα μιάς νέας διάστασης σε ένα επίπεδο πίνακα και να απεικονίζεται αυτό πάλι σε ένα επίπεδο. Σαν ιδέα, φαίνεται απλή. Όμως μην ξεχνάτε ότι κάθε καινοτομία, κάθε εφεύρεση είναι απλές, αφού γίνουν γνωστές!
Ο Garns χρησιμοποίησε ένα δισδιάστατο πίνακα (Λατινικό Τετράγωνο) που είχε 9×9 κελιά δηλαδή 81 κελιά συνολικά. Ο πίνακας αυτός αποτελείαι από σειρές. Μία σειρά είναι 9 κελιά το ένα δίπλα στο άλλο. Επίσης αποτελείται από 9 στήλες. Μία στήλη είναι 9 κελιά το ένα κάτω από το άλλο. Η καινοτομία του Garns ήταν να ορίσει τα τετράγωνα. Θεώρησε δηλαδή ότι ο δισδιάστατος πίνακας των 81 κελιών αποτελείται από 9 πίνακες 3×3 που έχει ο καθένας τους 9 κελιά. Οι πίνακες αυτοί ονομάζονται τετράγωνα. Στο σχήμα του δισδιάστατου πίνακα τα τετράγωνα περιβάλλονται από πιό έντονες γραμμές.
Σε κάθε σειρά μπορούσαν να τοποθετηθούν αριθμοί από το 1 έως το 9. Επίσης, σε κάθε στήλη μπορούσαν να τοποθετηθούν αριθμοί από το 1 έως το 9. Με την προσθήκη εννέα τετραγώνων, σε κάθε ένα από αυτά μπορούσαν να τοποθετηθούν αριθμοί από το 1 έως το 9. Σε μερικά από τα κελιά του δισδιάστατου πίνακα, αρχικά, είχαν τοποθετηθεί αριθμοί από το 1 έως το 9. Οι αριθμοί αυτοί αποτελούσαν τα δεδομένα. Τα ζητούμενα ήταν οι αριθμοί (από το 1 έως το 9) που έπρεπε να τοποθετηθούν στα υπόλοιπα κελιά με βάση ορισμένους απλούς κανόνες.
Οι κανόνες ήταν ότι έπρεπε να τοποθετηθούν στα άδεια κελιά αριθμοί από το 1 έως το 9 με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε στήλη, κάθε σειρά και κάθε τετράγωνο να περιέχει τους αριθμούς από το 1 εως το 9 μόνο μια φορά. Έτσι δημιουργήθηκε το παιχνίδι (παζλ) του Garns με το όνομα Number Place, που αργότερα ονομάστηκε SUDOKU.
Τα πρώτα Number Place εμφανίστηκαν στην έκδοση του Μαΐου του 1979 του Pencil Puzzles Dell and Word Games. H εταιρεία συνεχίζει να τα ονομάζει Number Place μέχρι και σήμερα. Δυστυχώς το Number Puzzle, δεν κατάφερε τότε να κερδίσει το αμερικανικό κοινό.
Το Number Puzzle μετονομάζεται σε SUDOKU στην Ιαπωνία!
Η εκδοτική εταιρεία Nikoli πρωτοκυκλοφόρησε το παιχνίδι Number Puzzle στην Ιαπωνία όπου έτυχε μεγάλης ανταπόκρισης. Εκεί το παιχνίδι πήρε και τη σημερινή του ονομασία Sudoku (Suji wa dokushin ni kagiru) που μεταφράζεται σε : “Οι αριθμοί πρέπει να βγαίνουν μια μόνο φορά”.
Η εξάπλωση του παιχνιδιού στο δυτικό κόσμο οφείλεται στον Γουέιν Γκουλντ, ένα Νεοζηλανδό συνταξιούχο δικαστή. Ο Γουέιν βρισκόταν στην Ιαπωνία και για να περάσει την ώρα του, επισκέφτηκε ένα βιβλιοπωλείο. Επειδή δεν γνώριζε την ιαπωνική γλώσσα αγόρασε ένα βιβλίο με παζλ αριθμών, το Sudoku. Τα παζλ αυτά του άρεσαν, τον συνεπήραν και γρήγορα εθίστηκε σε αυτά. Ήθελε να λύνει όλο και περισσότερα Sudoku. Για τον λόγο αυτό δημιούργησε ένα πρόγραμμα στον υπολογιστή του που δημιουργούσε όσα Sudoku ήθελε για να τα λύνει. Του άρεσε τόσο το Sudoku σαν παιχνίδι, που σκέφτηκε πως θα έπρεπε να γίνει γνωστό σε περισσότερο κόσμο. Έτσι μιά μέρα επισκέφτηκε τα γραφεία των “Times” του Λονδίνου και παρουσίασε την ιδέα του, να δημοσευτεί το παιχνίδι Sudoku στην εφημερίδα.
Η πρόταση του έγινε δεκτή και στις 12 Νοεμβρίου 2004, το Sudoku πρωτοδημοσιεύτηκε στην αγγλική εφημερίδα. Η ανταπόκριση που έτυχε από το αναγνωστικό κοινό ήταν τόσο μεγάλη, που και άλλες εφημερίδες, όπως η “Daily Telegraph” και η “Daily Mail” ακολούθησαν το παράδειγμα των “Times”. Οι πωλήσεις των εφημερίδων αυτών αυξήθηκαν κατακόρυφα. Σε πολύ λίγο χρόνο, το παιχνίδι Number Puzzle σαν Sudoku πιά, ξαναεμφανίστηκε στην Αμερική όπου τώρα η επιτυχία του ήταν πολύ μεγάλη. Μάλιστα ήταν τόσο μεγάλη που όταν σε λίγους μήνες κυκλοφόρησε στην αγορά ένα βιβλίο του Michael Mepham (Μάικλ Μέαμ) “The book of sudoku”, αυτό έγινε ανάρπαστο και μέσα σε δυο μόνο εβδομάδες πούλησε 250 χιλιάδες αντίτυπα.
Πως λύνεται ένα Sudoku.
Όπως στα μαθηματικά για να λύσουμε μία εξίσωση ή ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιούμε γενικούς κανόνες ή σκεφτόμαστε δικούς μας τρόπους (τα λεγόμενα τεχνάσματα), έτσι και για να λύσουμε ένα Sudoku χρησιμοποιούμε γενικούς κανόνες ή επινοούμε δικά μας τεχνάσματα.
Υπενθυμίζουμε ότι για να λυθεί ένα Sudoku πρέπει να τοποθετηθούν στα άδεια κελιά αριθμοί από το 1 έως το 9 με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε στήλη, κάθε σειρά και κάθε τετράγωνο να περιέχει τους αριθμούς από το 1 εως το 9 μόνο μια φορά. Αυτός ο κανόνας φαίνεται πολύ απλός, όμως στην πράξη μπορεί να είναι από εύκολο έως και πολύ δύσκολο να υλοποιηθεί. Εξαρτάται από το Sudoku, αν είναι εύκολο ή δύσκολο ή για να ακριβολογήσουμε, εξαρτάται από τα δεδομένα του Sudoku.
Ένα παράδειγμα θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε καλύτερα αυτά που είπαμε. (Το παράδειγμα έχει παρθεί από το ( 1 ) στη βιβλιογραφία/πηγές).
Στο προηγούμενο τμήμα Sudoku, στην τελευταία σειρά υπάρχουν οι αριθμοί 9,5,7,2,8,3,6 και λείπουν οι αριθμοί 1 και 4. Για να συμπληρωθεί η τελευταία σειρά, πρέπει να τοποθετηθούν στα κενά κελιά οι αριθμοί 1 και 4 με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε στήλη, κάθε σειρά και κάθε τετράγωνο να περιέχει τους αριθμούς από το 1 εως το 9 μόνο μια φορά. Αν τοποθετήσουμε το 1 στο δεύτερο κελί της τελευταίας σειράς, θα παραβούμε τον κανόνα διότι η στήλη που ανήκει αυτό το κελί, έχει τον αριθμό 1. Αν πάλι τοποθετήσουμε το 4 στο όγδοο κελί της τελευταίας σειράς, θα παραβούμε τον κανόνα διότι το τετράγωνο που ανήκει αυτό το κελί, έχει τον αριθμό 4. Επομένως, η σωστή τοποθέτηση των αριθμών είναι το 4 στο δεύτερο και το 1 στο όγδοο κελί της τελευταίας σειράς!
Το Sudoku σαν πνευματική άσκηση.
Οι επιστήμονες έχουν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η πνευματική άσκηση συμβάλει στην πνευματική ανανέωση και προστασία από εκφυλιστικές ασθένειες του εγκεφάλου, όπως το Αλτσχάιμερ και η άνοια. Τα πνευματικά παιχνιδια σταυρόλεξα και παζλ, και τα τελευταία χρόνια το Sudoku, αποτελούν εξαιρετική πνευματική άσκηση, η οποία συνδράμει στην αντικατάσταση των εγκεφαλικών κυττάρων που καταστρέφονται με την πάροδο της ηλικίας. Ειδικά το Sudoku είναι πιό αποτελεσματικό, αφού απαιτεί κυρίως συνδυαστικό μυαλό και όχι εγκυκλοπαιδικές γνώσεις. Ο διδάκτορας του Τομέα Φυσιολογίας και Φαρμακολογίας (Εργαστήριο Πειραματικής Φυσιολογίας) του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης κ. Βασίλειος Παπαλιάγκας υποστηρίζει ότι για τη λύση ενός Sudoku ο εγκέφαλος χρησιμοποιεί συνδυασμούς σκέψης ανώτερους και από τους πιο εξελιγμένους υπολογιστές!
Το Sudoku σαν μία μαθηματική εφαρμογή.
Για τη λύση ενός Sudoku χρησιμοποιούνται γενικοί κανόνες αλλά και προσωπικές αποφάσεις που μπορεί να πάρει κάποιος ανάλογα με την εικόνα που παρουσιάζει το Sudoku σε κάποια φάση. Όμως πίσω από την λύση του Sudoku κρύβονται μαθηματικά. Το ίδιο το Sudoku όπως είναι, είναι ένας μαθηματικός πίνακας (Matrix).
Στα μαθηματικά, ένας πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών, συμβόλων, ή εκφράσεων, που είναι διατεταγμένοι σε σειρές και στήλες. Εφαρμογές των πινάκων βρίσκονται σε πολλές επιστήμες. Στη φυσική (κλασική μηχανική, οπτική, ηλεκτρομαγνητική θεωρία, κβαντομηχανική, κ. α. ) χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των φυσικών φαινομένων, όπως την κίνηση των στερεών σωμάτων. Στα γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών, χρησιμοποιούνται για απεικόνιση εικόνας τριών διαστάσεων σε οθόνη δύο διαστάσεων. Στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, οι στοχαστικοί πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σύνολα πιθανοτήτων. Στη λογιστική χρησιμοποιούνται πολύ οι λεγόμενοι λογιστικοί πίνακες.
Οι 9 αριθμοί του Sudoku αποτελούν ένα σύνολο Sn={1,2, . . . , n} όπου n = 9, δηλαδή S9 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Κάθε σειρά και κάθε στήλη είναι μία μετάθεση (permutation) του συνόλου S9. Π.χ. σ1 = {2,7,1,3,4,5,6,9,8},
σ 2 = {9,2,7,8,3,4,5,6,1} κτλ.
Στις τεχνικές λύσης ενός Sudoku συμπεριλαμβάνεται και η μαθηματική μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής. Η εις άτοπον απαγωγή είναι μέθοδος λογικής απόδειξης. Όχι μόνο στα καθαρά μαθηματικά αλλά παντού. Ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Όταν αναφέραμε πριν ότι … στην τελευταία σειρά λείπουν οι αριθμοί 1 και 4. Αν τοποθετήσουμε το 1 στο δεύτερο κελί της τελευταίας σειράς, θα παραβούμε τον κανόνα διότι η στήλη που ανήκει αυτό το κελί, έχει τον αριθμό 1. Επομένως, το 4 θα τοποθετηθεί στο δεύτερο κελί της τελευταίας σειράς (και όχι το 1)!
Κάποιες πρακτικές τεχνικές λύσης ενός Sudoku βασίζονται στην ιδιότητα Ν γραμμικών εξισώσεων με Ν αγνώστους, που συνήθως έχουν μοναδική λύση. Βέβαια, ο αναγνώστης για να λύσει ένα Sudoku δεν χρειάζεται να έχει ιδέα από αυτές τις θεωρίες των μαθηματικών διότι οι τεχνικές λύσης έχουν μετατρέψει τις θεωρίες αυτές σε απλούς κανόνες υπολογισμών με πρακτική αριθμητική!
Τέλος, τελευταία πολλές διπλωματικές, πτυχιακές αλλά και ερευνητικές εργασίες έχουν για θέμα τους το Sudoku όχι μόνο στον μαθηματικό κλάδο αλλά και σε άλλους κλάδους (Πληροφορική, Φυσική, Αυτοματισμός, Τεχνητή Νοημοσύνη, κ.α.). Δειτε τα ( 4 ) , ( 5 ) και ( 7 ) στη βιβλιογραφία/πηγές.
Το μέλλον των Sudoku
Μπορεί η μαγεία να παραμένει στα μαγικά τετράγωνα, όμως από τα τέλη του 19ου αιώνα οι μαθηματικοί εφάρμοσαν αυτά σε προβλήματα, στις πιθανότητες και στην ανάλυση. Στις μέρες μας επίσης, τα μαγικά τετράγωνα μελετήθηκαν σε σχέση με την παραγοντική ανάλυση, συνδυαστικά μαθηματικά, πίνακες (μήτρες), ρυθμιστική αριθμητική και γεωμετρία. Τα Sudoku έγιναν γνωστά τα τελευταία χρόνια και επειδή πρακτικά έχουν μία διάσταση παραπάνω από τα μαγικά τετράγωνα, οι εφαρμογές τους σε προβλήματα ανάλογα θα είναι πολλαπλάσιες από τα μαγικά τετράγωνα και πιό πολύπλοκες. Και όσο οι επιστήμονες θα απασχολούνται με την μελέτη των εφαρμογών των Sudoku σε επιστημονικά και τεχνικά πεδία, αυτά (τα Sudoku) που ήδη έχουν αποκτήσει φανατικούς οπαδούς μεταξύ των καθημερινών αναγνωστών των εντύπων, θα εξακολουθήσουν να τους προσφέρουν άπειρες ώρες ευχαρίστησης, εκτόνωσης και δημιουργικής απασχόλησης.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ / ΠΗΓΕΣ
( 1 ) ΜΕΘΟΔΟΙ ΛΥΣΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ SUDOKU ΕΥΚΟΛΑ – ΔΥΣΚΟΛΑ – “ΑΔΥΝΑΤΑ” ΛΙΒΑΝΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ Εκδόσεις ΔΙΑΥΛΟΣ
( 2 ) ΠΩΣ ΝΑ ΛΥΝΕΤΕ SUDOKU ΠΑΝΩ ΑΠΟ 200 ΠΑΖΛ ΚΑΘΕ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ: ΑΠΟ ΕΥΚΟΛΑ ΜΕΧΡΙ ΠΟΛΥ ΔΥΣΚΟΛΑ! VORDERMAN CAROL
( 3 ) ΤΟ ΜΕΓΑΛΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ SUDOKU HUCKVALE MARK Εκδόσεις ΠΑΤΑΚΗ
( 4 ) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ
http://www.math.ntua.gr/~sofia/thema/sudoku.pdf
( 5 ) Επίλυση του προβλήματος sudoku με χρήση ευφυών τεχνικών από εκπαιδευτικό ρομπότ. Πανεπιστήμιο Πατρών Αλεξανδρίδης, Ζαχαρίας
http://nemertes.lis.upatras.gr/jspui/bitstream/10889/4228/1/NXT%20Sudoku%20_%20alexandz.pdf
( 6 ) «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΥΦΥΟΥΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΟ PUZZLE SUDOKU» (DEVELOPMENT OF AN INTELLIGENT APPLICATION FOR THE SUDOKU PUZZLE) ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ «ΘΩΜΑΣ ΜΥΛΩΝΑΣ»
http://ikee.lib.auth.gr/record/285380/files/SudokuProject_(%CE%9A%CE%B5%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF).pdf
( 7 ) Sudoku puzzles και συνδυαστικά προβλήματα Συγγραφέας: Ζώττου Δήμητρα Νεφέλη
Στην εργασία προσεγγίζονται τα Sudoku puzzles χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες κυρίως από την θεωρία γραφημάτων, την άλγεβρα, τη θεωρία πινάκων αλλά και την κρυπτογραφία και τη θεωρία ανάπτυξης αλγορίθμων.
https://my.math.upatras.gr/links/showlink.php?l=278
! Ο Παρασκευάς Λιβάνης είναι φυσικός και ειδικός Πληροφορικής. Είναι συγγραφέας βιβλίων Πληροφορικής και άρθρων Φυσικής και συγγραφέας του βιβλίου ΜΕΘΟΔΟΙ ΛΥΣΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ SUDOKU (ΕΥΚΟΛΑ – ΔΥΣΚΟΛΑ – “ΑΔΥΝΑΤΑ”). Εκδόσεις ΔΙΑΥΛΟΣ.